MaTeMaTiK HaKKıNDa HeRŞeY

Konu: MaTeMaTiK HaKKıNDa HeRŞeY C.tesi Mayıs 31, 2008 5:24 pm

Matematiksellik ve matematik felsefesi

Matematik bir çok disiplinin birleşmesidir. Euclides Geometrisi, Cebir, Grup Teorisi, Analiz, Reel Analiz, Karmaşık Analiz, Olasılık, Fonksiyonel Analiz, Diferansiyel Denklemler, Euclides-dışı Geometri ve daha nice disiplinlerin ortak özelliği, tanımsız kavramların kabulü ile başlıyor olmalarıdır. Sonrasında gelen bütün kavramlar başlangıçta kabul edilenler üzerinde tanımlanırlar. Örneğin nokta Euclides geometrisinde pozitif tam sayı, cebirde ise tanımsız kavramdır.

Matematik sadece özenle geliştirilmiş bilimsel bir teori olmayıp, aynı zamanda modern bilimin de temeli olmuştur. Bilimde bir teorinin gerçekten bilimsel olmasını belirleyen ölçütlerden biri matematik kullanımıdır. Matematiğin soyutluğu bir çok insanı korkutur ve uzaklaştırır. İşin ilginci soyut oluş, insanlar tarafından gözlenip aşıklamada zorluk cekişte bir numaralı kurtarıcıdır. B.Russell "Matematik sadece doğruyu söylemekle kalmaz aynı zamanda onun güzelliğini de ortaya çıkartır" der [1].
Matematikteki ahenk veya düzen kimi zaman bazı filozoflara, bilim adamlarına bir resmin renk ahengini, bir müziğin duruluğunu anımsatır. Kimisi bunun karşısında hayranlığını, sevinç ve heyecanını gizleyemez. Her ne kadar başlangıçta matematik doğayı ve insanları ilgilendiren problemlerin çözümü olsa da, matematikçiler matematiği bu alanından alıp, bilinçlerinde oluşan problemlere kavramsal çözümler düşünsel eylemine dönüştürürler. Örneğin Geometri, ilk önce alan hesaplanması ve astronomik çalışmalardaki yıldızların yeri ve hareketlerinin gozlenmesi ile başlamıştır. Olasılık kumar oyunlarında kazanma hırsına kesinliğin nasıl maledileceği ile başlamıştır. Ama bugün bu dallara baktığımızda başlangıçta yarattığımız bu disiplinlerin artık kontrolümüzden çıkıp kendi içinde kendi problemlerini yaratıp onların soyut çözümleri ile uğraştığını görürüz. Bilim içinde üretilmiş problemlerin toplum ve doğadaki problemlerin çözümü ile ilgili olabileceği gibi, hiç bir ilgisi de olmaya bilir demek ki. Onun öz kaynaklarından biri belki de temeli, matematiğin bilim adamına verdiği haz duygusunun ölçütünün olmamasıdır.

Tarih içinde bilimlere bakıldığında, soyut matematikte bir konu ortaya çıktıktan sonra, zaman içinde bunun başka bir bilim dalında uygulandığına tanık oluyoruz. Veya matematikteki bir problem fiziksel bir olayı açıklamakla ortaya çıksa bile bu problem başka bilim dallarında farklı olayları açıklamak için de kullanılır. Örneğin olasılık artik kumarbazların ihtiyaçlarından çok fizikçi ve matematikçilerin işini görür.

Bir çok bilim dalı, matematiğin dilini kullanır. Ama bu dil bizim bildiğimiz diğer dillerden elbet çok farklıdır, daha sınırlı ve daha katıdır.

Diğer bilimler ile matematik arasındaki temel farklılıklar düşünce sistemlerinde ve ispat-açıklama yöntemlerindedir. Birincisinde olgusal içerik bulunur, yani gözlemin sonucundaki açıklama yeterli olur. Matematiksel düşüncede ise kavramsallık vardır, yani "gözlenen olayı olgusal açıklama yerine ilişkileri teorem olarak ispatlama" [2]. Matematiksel oluşta açıklık ve kesinlik vardır. Doğruluk şüphe götürmez kuru gerçektir. İspat yapılmadığı sürece genelleme yapılmaz. "Her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir" hipotezini çürütür tek bir örnek bulunamamış olunsa bile bu yönde bir genelleme yapılmaz. Matematikçiler kanıt toplamaktan çok ispata yönelirler.

Gelişim kaynakları, yaratıcı imge ve sezgilerini, mantıksal yapısını gelecekteki yazılarımda daha ayrıntılı vereceğim matematikselliğin öznel düşünce etkinliklerindeki farklı yaklaşımlarının doğal kaynağı MATEMATİK FELSEFESİ'ni aşağıda ana temaları ile sunmaya çalışacağım.

MATEMATİK FELSEFESİNE GİRİŞ
Matematik felsefesi denildiğinde konu bir çoğunuza belki soğuk ya da anlamsız geliyordur. Oysa konu büyüleyici ve çekici. Bu yazının hedefi bazı okuyucuları büyülemekten çok, çekiciliğin etki alanına insanları toparlayıp neden sonuç ilişkilerinde bilginin kaynağını ve matematiğin temelini sorgulama biçimleri üzerinde birlikte düşünmek.

Soyut matematik daima rasyonel düşüncenin doruğundadır. Matematiksel sonuçlar sayılar teorisinden geometrik şekillere, küme teorisinden fonksiyonel analizin karmaşık yapısına kadar doğruluğun bükülmez en sert örneklerini oluştururlar. Kimi zaman kavramlar çok basit ve sadedir, ama yine de her insan beyni bu doğrulukla barışık değildir. Benim kaygım ya da tasam barışı sağlamak, bağnazlığı bozguna uğratmak. Kaygım düşün ufuklarımızı ÖZGÜR kıldırmanın yöntem ve biçimlerini sorgulamamız üzerine.

Matematik entellektüel yaşantımızın içine girdi mi, modern, ileriye dönük değişimlere açık bir toplumun şekillenmesinde en temel görevi üstlenir. Amacım elbet matematiği bir yana, bilimi bir yana koymak değil, bunu yaptığımızda anarşi ve terör girer günlük yaşama. Bilimi anlamak da mümkün olmaz. Rasyonel düşüncede matematik ve bilim birlikte üretkendirler. Bir köprünün inşasından tutun da, internet bağlantılarına kadar yaşamın her yerinde esrarengiz güçlerini birlikte sergilerler. Yaşamda matematiğin değerini sorguladığınızda karşınızda matematik felsefesini bulursunuz. Sonlu insanın sonsuzluk ile nasıl oynadığını, matematiği nasıl yarattığını düşündükçe karşımıza yine matematik felsefesi çıkar.

Bütün tutarlılığı içinde matematiğin degişik bir niteliği vardır ve bu nitelik oldukça zorludur. Bizi baştan çıkaran matematikteki kesinlik, objektiflik, matematiksel düzendeki sonuçların estetik zihinsel güzelliğidir. İnsanoğlunun bu gerçek ile nasıl bir bağlantı kurduğunu kolaya kaçmadan açıklamamız gerekiyor. Başka bir deyiş ile biçimsel ya da tanımsal semboller ile oynanması, matematiğin bakış açısına ve platonik dünyasına kendimizi tam anlamı ile vermemizi gerektirir. Bu işi uzun yıllar önce temelciler çok iyi yaptılar. Matematiğin nasıl yaratıldığını ince ince çözümlemeye ve sonra dokumaya uğraştılar.

Matematik felsefesindeki temel sorunlardan biri geleneksel yapımcı düşüncenin kavramları ile realistik matematiksel kavramlar arasındaki temel ayrılıktır.

Realizm matematiksel kavramlardan bağımsız bir matematiksel evrenin gerçekliğini kabul eder. Başka bir deyiş ile "realizm: dış dünyanın algı veya bilgimizden bağımsız var olduğu savını"[2] kabul eder. Başka bir felsefi görüş olan yapımcılık ("Belli ilkel nesneler (örneğin doğal sayılar) kullanılarak sonlu adımda inşa edilebilen matematiksel nesneleri yanlızca var veya anlamlı sayan öğreti" [2] ) ise her hangi bir matematiksel gerçeğin, matematikçiler tarafından potansiyel bir yapıya uygun hale getirilmiş olduğunu söyler. İki görüşün de kabul edilebilir yanları olmakla birlikte kendi içlerinde karşılaştıkları ciddi problemleri vardır.

Bugün matematik felsefesi artık felsefe içinde kendi başına bir dal haline gelmiştir. Varlık bilimi ve metafizik gözönüne alındığında bu felsefe dalının doğal gerçeğin özü ile, temel ile ilgili olduğu anlaşılır. Bu konuda tipik bir soru şöyledir: Soyut nesneler var mıdır? Benzer bir soru da şu olabilir: Uzayda var olan bütün nesneler soyut mudur? Var olan somut parçacıkların tümü gerçekten yer-zaman ilintisi içinde mi mevcuttur? Şimdi bu sorulara yanıtlar ne olabilir? Eğer realist görüş matematiğe doğru bakıyorsa, evet soyut nesneler denilen MATEMATİKSEL NESNELER vardır. Yok yanlış ise o zaman bütün nesneler zamana aittir, yani dünyevidir, bu da olsa olsa yapımcı görüşün yanıtı olabilir.

Matematiksel konuşmada anlam ve gerçeğin analizi esastır. Çekiciliğin ve esrarengizliğin perdesi böyle aralanır. Perdeyi aralayanlar farklı yöntemlere başvururlar. Bilim felsefesi gözönüne alındığında, eğer yapımcılığın verdiği yanıt doğru olsaydı o zaman iyi bir bilgi kuramı anlaksal bir iç eylem olarak matematik için bir açıklama oluştururdu. Diğer yandan eğer realizm bir bilgi felsefesi tarafından uzlaştırılırsa onun matematiksel sezginin özel bir yeteneği ile ya da matematiksel dünyanın algısı ile bir bilgi sağlaması gerekirdi. Realizm, matematiğin bir açıklaması olarak, matematiksel dillerin kuramsal bir model olarak yorumlanmasını düzenler ve genelde anlambilim kuramını geliştirir. Matematikteki yapımcılık, anlamları açıklamada daha hesapçıldır; anlambilimi geliştirirken bir yandan da doğabilim ve dilbilim ile bağlantılar kurar.

Matematik felsefesi, matematiğe getirilen felsefi açıklama, Platon ve Pyhtagoras'ların döneminden bugüne kadar gelmiş olup felsefe içinde önemli bir yere sahiptir. Matematik felsefesi kusursuz bir disiplin olmakla birlikte müthiş bir değiştirme gücüne de sahiptir. Kuhn'a göre bu değiştirme gücü "devrimcidir, köktendir, yeni bir olgunun yaratılışıdır". 19. yüzyıl sonlarında matematik felsefesinin temel sorusu 'Matematiğin temeli nedir?' şeklindeydi. Bu soruyu cevaplamak üzere geliştirilen düşün disiplinleri çağ içinde köklü değişimlere neden olurlar. Cevapların birinde temeller matematiksel mantık disiplini ile açıklanır. Bu görüş Cantor'un sonsuzlar analizinde, Frege'nin sayılar analizinde, Russel ve Whilehead'ın büyük eserleri Principia Mathematica'da netleşir. Matematik felsefesi temellerin sorgulanmasıdır. Zira birbiri ile çatışan kuramlara değer biçme, rekabetler arasında hüküm verme felsefenin işlerinden biridir. O dönemde bu hükmün aracı mantıktır.

Konu: Geri: MaTeMaTiK HaKKıNDa HeRŞeY C.tesi Mayıs 31, 2008 5:24 pm

Diğer yandan son tartışmalarda matematiğe temelci yaklaşımlardaki yetersizlikler vurgulanır. Matematiksel kuramların yapısında güçlü bir sınırlama olduğu ileri sürülür. Eğer yüzyıl önceki durum ile kıyaslanırsa doğru temellere çok yakınlaşmış olduğumuz söylenemez. Aynı temel tartışma ve itirazlar hala üst düzeyde sürdürülmekteler. Bununla birlikte yakın zamanın analizlerinde, temelciliğin aşikar sayılan anahtar varsayımlarının bugün hiç de öyle olmadığı ileri sürülmektedir. Ancak temeller üzerine yapılan tartışmalar ilk heyecanını ve gücünü yitirmiş görünüyor. Tartışmalar matematik felsefesinin gündelik kavramlarından uzaklaşıyor, el değmemiş bölgede tek başına haykıran sesin etki alanındaki tartışmanın değeri vurgulanıyor. Zaman temelcilerden sonra gelenlerindir şimdi. Matematik felsefesi ancak matematikçiler ve onun kullanıcılarının üzerinde yoğunlaştıkları konuları yeniden sorgulamaya başladıkları zaman yeniden canlanacaktır. Eğer matematiğe önyargısız bakarsak, sınırlılığın zincirlerini kırabiliriz. Temelciler tarafından ihmal edilen biçimsel olmayan ispatlar, tarihsel gelişim, matematiksel hataların olabilirliliği, matematikçiler arasındaki iletişim, matematiksel yorum ve açiklamalar, modern matematik de bilgisayarların kullanımı vb. birçok nitelikler çıkarımlarda temel etken olur. Temelciler asıl pratiği temel aldıkları için biçimsel ispatların sağlanmasında, kümeler hakkındaki keşiflerde ve diğer temel kavramlarda matematiksel etkinliği esas tutmuş, geri kalan herşeyi üst yapı olarak yorumlamışlardır.

Matematik felsefesinde tartışmaların odak noktasını oluşturan temelcilik üzerinde bilim adamları ve matematikçiler yaklaşık yüz yıl harcadılar. Öyle ki Matematiksel Mantık üzerindeki tartışmalarda da temel dört mantık okulu ortaya çıkmıştır.

1) Platoncular (Realistler - Gerçekçiler)
2) Mantıkçılar - Temelciler
3) Biçimciler - Tanımcılar (Formalistler)
4) Sezgiciler - İnşacılar - Yapımcılar

Doğrusu bu okullararası kavgalar oldukça değerlidir. Ama uzun süren tartışmalar bir döngüye tıkanıp kalınca, kimi düşün insanları bunun dışına çıkmaya yöneldiler. Lakatos'tan oldukça etkilenen R.Hersh bunu açık açık dile getirir; "Bilim adamları hala 20. yüzyılın ilk döneminde başlayan büyük temel tartışmaların etkisinden kurtulamadı gitti. Mantık okulları matematiksel çalışmalarda gerekli izi bırakmıştır. Fakat felsefi programlar için, matematiksel kuramlar için sağlam bir temel kurma girişimlerinin hepsi kendi yollarında koştular ve artık tükendiler, daha doğrusu pilleri bitti. Buna rağmen hala tam tanımlanmamış açık olan yanları var. İlginçliği ve önemi kalmamış temeller üzerine bir calışma bulduğumda felsefe ile kesinlikle ilgilenmiyorum. O yüzden de kendimi, matematiksel belirlilik-kesinlik ile doğa hakkındaki belirsizliklerimin yüzleşme olasılığını ortadan kaldırarak, onlardan mahrum ediyorum." [3]

H.Putnam ise temelci tartışmalara karşı çıkarken, yeni ürkek seslere dikkat çeker; "Çok az ürkek ama cesaretli bir iki ses temellere karşı çıkıyor ve buna ihtiyaç olmadığını söylüyor. Ve ben dikkatlerinizi bu ürkek seslere çekmek istiyorum. Matematiğin belirsizlik, temellerin de bir kriz içine düştüğünü sanmıyorum. Aslına bakarsanız matematiğin temellerinin olduğuna ya da ona ihtiyaç olduğuna inanmıyorum. Kuşkusuz çeşitli sistem yapımcılarının düşüncesi bana içsel problemlermiş gibi geliyor. Bu sistemler entellektüellik gibi ilginçtir. Sistemler üzerine yapılan araştırma ve tartışmalar kuşkusuz devam edecektir, etmelidir de. Ama ben sizi matematik felsefesinin değişik sistemlerine inandırmak istiyorum (bunu hiç süphem yok beceremeyeceğim ama yine de deneyeceğim)." [4]

Felsefeciler temelci düşünceye pek düşkündürler: 'Bilginin temeli', 'Fiziğin temeli', 'Matematiğin temeli' gibi. Temeller hakkındaki sıradan bir spekülasyon kuşkusuz akla uygunluğun yaratıcı sürecindeki bir disiplin tarafından dikkate alınmaz. Eğer bir disiplin kriz yaşıyorsa, o zaman felsefi spekülasyon özünde kuvvetlendiricidir. Ondokuzuncu yüzyıl matematikçileri böylesi bir krizi yaşarlar. Dönemin düşünürleri Euclidian olmayan geometriyi özümlemeye, geometriyi analiz ve aritmetikten ayırmaya, kalkülüsü belirli bir temele oturtmaya, sonsuzluğu özümlemeye, kümelerin genel yapısını keşfetmeye ve paradokslardan uzak durmaya calışırlar. Bu çalışmalardan elde edilen bilgi birikimi, gelişimler ve etkileşimler zengindir. Hantal olan bilgilerden arınma, karmaşıklığı basitleştirme girişimleri, bulunan sonuçların temel kavram ya da ilkelere indirgenmesi, onlara açıklık kazandırılması bugünün kuşağına devredilen en büyük mirastır. Matematiksel kavram ve ilkelere ulaşım yorucudur, kimi zaman insan bocalar, sonuca ulaşamamanın bunalımını yaşar, ama zorlu ve bilinçli çalışma kişiyi bilinç altında meşgul eden ilkeyi sonunda gün ışığına, bilinç düzeyine ulaştırır. Böylesi bir değişim döneminin ürünü Gottlob Frege temelciliğin en büyük mimarlarından biridir. Ölümünden sonra büyüklüğü anlaşılan gelmiş geçmiş büyük matematikçilerden biri olan Frege'nin temel eserleri şunlardır:

1) Begriffsschriff (1879) - Formüllerin dili ve aritmetik modelleri
2) Die Grundlogen der Arithmetik (1884) - Matematiksel mantık ve sayılar üzerine temel kavramlar
3) Grundgesetze der Arithmetik,I, II (1893) - Aritmetiğin temel kuralları

Değişken, Küme, Bağıntı, Fonksiyon ve Nicelikler gibi kavramlara mantıksal açıklık getiren Frege, onları aksiyomatik bir yapı içine oturtur. Değişkenlere tanımsız sayıların isimi gibi bakılıp, sonsuzluk fikri sonsuzluk sembolüne tıkanıp kalmış ve elemanı sembolü ile kapsam sembolü karıştırılır iken o bunlara kesinlik getirmiştir. Fregenin ölümünden sonra taraftarları (öğrencileri) ve ondan etkilenmiş olan matematikçiler, mantıkçılar, felsefeciler çok olmuştur. Çalışmaları Cantor, Dedekind, Zermelo, Peano, Russel ve Hilbert tarafından tamamlanmıştır. Matematiksel mantık disiplini ileriye götürülür. Temelci yaklaşımlar doğrudan matematiksel deneyleri etkiler, temellere teorik felsefi bir tanim kazandırılır. Frege'nin çalışmaları bir çok bilim adamını büyülerken o zamanlar genç bir öğrenci olan B.Russel, o güne kadar kimsenin bir araya basit sade bir dil ile getiremediği Fregen'nin temeller üzerine çalışmasını basıma hazırlandığı bir dönemde, kibar ve ince bir dille Frege'nin kurduğu sistemin geçersiz olduğunu yazar. Frege'nin mantıksal sonuç ve gerçek kavramlar üzerine sorgusu ile başlayan tartışma B. Russel ile daha üst bir boyuta sıçrar. Temeller üzerine gelişen bu tartışmalarda temelciler kendi içlerinde de farklı farklı düşünmeye başlar ama ortak görüş matematiğin mantıkla özdeş olduğudur.

Cantor matematiğin özünde zengin bir özgürlüğün olduğunun altını çizer. Onun vurguladığı bu özgürlük inşa etme, varsayımlar oluşturma özgürlüğüdür. Formalizm bu görüşe ayrı bir yaklaşım daha getirir; matematiğin insan zekası ürünü olduğu ve matematiksel nesnelerin sanal nitelikleri olduğunu ileri sürer. Platoncular ise matematiğin bizden bağımsızlığını varsayar ve kendine has yasaları olduğunu söylerler. Sezgiciler matematiğin insan zekası ürünü olduğu iddiası ile Platonculara karşı çıkarlar. Onlara göre ispatlanamayan bir şey doğru değildir.

Matematiksel gerçeklik ve düşünme yapısı incelendiğinde, matematiksel nesnelerin gizemli özellikleri ve bunların büyük zeka uğraşıları sonucunda ispatı göz önüne alındığında MATEMATİĞİN BİR FELSEFİ DÜŞÜNCE sistemi içine sığdırılamayacak kadar sonsuz bir zenginliğe sahip olduğu görülür. K.Popper'in üç dünyasından üçüncüsüne tekabül eden matematiği gelin birlikte inceliyelim.

Necati KARTAL
Kaynaklar:
[1] Russel,B "Intro. to Matematical Philosophy",London
[2] YILDIRIM,C. " Matematiksel Düşünme"
[3] Hersh,"Intro. Imre Lakatos" Mathematical Intelligencer,1 (1978),148
[4] Putnam,"Mathematics Without Foundations",Jour. of Phi. 64 (1967),5.
[5] J.van Heijenoart,"From Frege to Godel"

» matematik fobik misiniz?