Paylaşımın tek adresi

güller burda açar
 
AnasayfaKayıt OlGiriş yap

Paylaş | 
 

 Bİrİncİ Dereceden Bİr Bİlİnmeyenlİ Denklemler

Önceki başlık Sonraki başlık Aşağa gitmek 
YazarMesaj
xezal
Admin
Admin
avatar

Kadın Mesaj Sayısı : 438
Yaş : 23
Nerden : beytüşşebap
Kayıt tarihi : 26/05/08

MesajKonu: Bİrİncİ Dereceden Bİr Bİlİnmeyenlİ Denklemler   C.tesi Mayıs 31, 2008 5:27 pm

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
3x - 4 = 23 denkleminde, bilinmeyen "x" tir. x in kuvveti "1" (Kuvveti 1 olan ifadelerde kuvvetin yazılmadığını hatırlayınız.) olduğundan, bu denklem, birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.
Bunun gibi;
y + 5 = 8 ve 4k + 6 = 26 denklemleri de birinci dereceden bir bilinmeyenli birer denklemdir. Bu denklemlerin bilinmeyenleri, sıra ile y ve k dir.
Genel olarak; a, b, c Î R ve a ¹ 0 olmak üzere,
ax + b = c şeklindeki denklemlere, birinci dereceden bir bilinmeyenli denk*lem denir. Denklemi doğru yapan değerlerin oluşturduğu kümeye, denklemin çözüm kümesi denir ve Ç ile gösterilir.

Örnek
x - 13 = 23 denklemini gerçek sayılar kümesinde çözelim ve çözüm kümesi*ni bulalım:
x - 13 = 32 denkleminde (-13) ün toplama işlemine göre tersi olan (+13) ü eşitliğin her iki yanına ekleyelim:
x - 13 + (+13) = 23 + (+13)
0
x = + 39 olur. Çözüm kümesini Ç ile göstermiştik.
Ç = {+39} bulunur.
x = + 39 sayısının x -13 = 23 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol ede*lim:
x = + 39 için; x- 13 = 23
39-13 = 23
23 = 23 olduğundan, denklemin çözümü doğrudur.

Örnek
x + 8 = 19 denklemini çözelim ve çözüm kümesini bulalım:
x + 8 = 19 denkleminde, (+ 8) in toplama işlemine göre tersi olan (-8) i denk*lemin her iki yanına ekleyelim:
x + 8= 19
x + 8 + (-8) = 19 + (-8)
0
x = 11 olur. Ç = {+ 11} bulunur.
Bir denklemde eşitliğin her iki tarafına aynı gerçek sayı eklenirse, eşitlik bozul*maz. Yani x = y ise, x + k = y + k olur.

Örnek
3x = 54 denklemini çözelim ve çözüm kümesini bulalım:
3x = 54 denkleminde, 3 ün çarpma işlemine göre tersi olan ile denklemin her iki yanını çarpalım:
3x = 54

x = 18 olur.
Ç = {18} bulunur.
Bir denklemde eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı bir gerçek sayı ile çarpılırsa, eşitlik bozulmaz. Yani k ¹ 0 için,
x = y ise k . x = k . y olur.
4x +7 = 67 ve 3x – 8 = 55 denklemlerinin çözüm kümelerini bulalım:

4x + 7 = 67 3x – 8 = 55
4x + 7 + (-7) = 67 + (-7) 3x – 8 + (+8) = 55 + (+8)
4x = 60 3x = 63

x = 15 olur. x = 21 olur.
Ç = {+15} bulunur. Ç = {+21} bulunur.

Yukarıdaki denklemlerin çözümleri, aşağıdaki gibi de yapabiliriz. İnceleyiniz.
4x + 7 = 67 3x – 8 = 55
4x = 67 – 7 3x = 55 + 8
4x = 60 3x = 63
x = x =
x = 15 olur. Ç = {+15} bulunur. x = 21 olur. Ç = {+21} bulunur.

Örnek
4(x+5) + 12 = 152 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
4(x+5) + 12 = 152
4x + 20 + 12 = 152 (çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliğinden)
4x + 32 = 152
4x + 32 + (-32) = 152 + (-32)
4x = 120

x = 30 olur.
Ç = {+30} bulunur.

Örnek
3x – 8 = 16 denkleminin çözüm kümesini R de bulalım ve sağlamasını yapalım:
3x – 8 = 16 Sağlama:
3x – 8 + (+8) = 16 + 8 x = 8 için; 3 . 8 – 8 = 16
24 – 8 = 16
x = 8 olur. 16 = 16 olduğundan,
denklemin çözümü doğrudur.
Ç = {8} bulunur.

Problemlerin Denklem Kurarak Çözümü
Problem: Özer’in yaşının 5 eksiğinin 4 katı 44 tür. Özer kaç yaşındır?
Çözüm:
Özer’in yaşı x olsun.
Verileri matematiksel ifade ile (denklem olarak) yazalım:
Özer’in yaşının 5 eksiği, x – 5 olur. Bunun 4 katı, 4(x-5) biçimde yazılır. Denklem, 4(x-5) = 44 olur.
4(x-5) = 44
4x – 20 = 44
4x – 20 + (+20) = 44 + (+20)

Ç = {16} bulunur.
Özer’in yaşı 16 dır.

Problem: Koray, Elif’ten 35 yaş büyüktür. Koray ile Elif’in yaşları toplamı 47 olduğuna göre, her biri kaç yaşındadır?
Çözüm
Elif’in yaşı x dersek; Koray’ın yaşı, x + 35 olur.
Elif’in Yaşı Koray’ın Yaşı Yaşları Toplamı
x x + 35 47
Problemin denklemi, x + x + 35 = 47 ve 2x + 35 = 47 olur.
Şimdi de denklemi çözelim:
2x + 35 + (-35) = 47 + (-35)

x = 6 olur.
O halde; Elif’in yaşında, Koray ise, 6 + 35 = 41 yaşındadır.

Problem: Bir sayının 8 katının 5 fazlası 101 dir. Bu sayı kaçtır?
Çözüm
Bilinmeyen Sayı 8 Katı 8 Katının 5 Fazlası
x 8x 8x + 5
Denklemi kurarak çözüm kümesini bulalım:
8x + 5 = 101 denklemi kurulur.
8x + 5 = 101
8x + 5 + (-5) = 101 + (-5)
x = 12 dir. Sayı 12 olarak bulunur.
Sağlama
x = 12 için, 8x + 5 = 101
8 . 12 + 5 = 101
96 + 5 = 101 101 = 101 olur. Öyle ise, denklemin çözümü doğrudur.
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
Eşitsizlik Kavramı
(-14) ve (+5) tam sayılarını karşılaştıralım:
O halde, bu iki sayı arasındaki küçüklük veya büyüklük ilişkisini,
-14 < +5 veya +5 > -14 şeklinde yazarız.
a. 7 ile 5 i karşılaştıralım: ç. 0 ile 8 i karşılaştıralım:
5 < 7 veya 7 > 5 olur. 0 < 8 veya 8 > 0 olur.

b. -4 ile -16’yı karşılaştıralım: d. -1 ile 0 ı karşılaştıralım:
-4 > -16 veya -16 < -4 olur. -1 < 0 veya 0 > -1 olur.

c. 22 ile 53 ü karşılaştıralım: e. -7 ile +1 ı karşılaştıralım:
22 < 53 veya 53 > 22 olur. -7 < +1 veya +1 > -7 olur.

Genel olarak; a, b Î R olmak üzere,
a – b > 0 ise a > b olur.
a – b < 0 ise a < b olur.

Örnek
a = +37, b = - 28 tam sayılarını karşılaştıralım:
(+37) – (-28) = (+37) + (+38) = (+75) olur. (+75) > 0 ve a – b > 0 dır.
O halde, (+37) > -28 dir.

Örnek
a = +9, b = +17 tam sayılarını karşılaştıralım:
(+9) – (+17) = (+9) + (-17) = (-6) olur. (-6) < 0 ve a – b < 0 dır.
O halde, +9 < +17 olur.

Aşağıdaki önermeleri inceleyiniz.
a) 5x – 3 > 22 c) 2x + 6 < 0 d) x + 9 > 0 f) x – 2 ³ 0
b) 2x – 7 > 0 ç) 6x - 5 < 19 e) 5(x + 4) < 0 f) 3x + 1 £ 7
Yukarıdaki önermelerin her biri, birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliktir.

Örnek
8x + 9 > 0, 8x + 9 < 0, 8x + 9 ³ 0 veya 8x + 9 £ 0 ifadelerinin her biri, birinci dereceden bir bilinmeyenli bir eşitsizliktir.

Eşitsizliklerin Çözümü
x Î R için x > 4 eşitsizliğin çözüm kümesini yazalım ve sayı doğrusunda gösterelim:
Ç = {+4 ten büyük gerçek sayılar} dır.



Örnek
x Î R için x < 5 eşitsizliğin çözüm kümesini yazalım ve sayı doğrusunda gösterelim:
Ç = {+5 ten büyük gerçek sayılar} dır.




Örnek
x Î R için x ³ -5 eşitsizliğin çözüm kümesini yazalım ve sayı doğrusunda gösterelim:
Ç = {-5 ve -5 ten büyük gerçek sayılar} dır.



Örnek
x Î R için x £ -2 eşitsizliğin çözüm kümesini yazalım ve sayı doğrusunda gösterelim:
Ç = {-2 ve -2 ten büyük gerçek sayılar} dır.


Örnek
x Î R olmak üzere, 3x – 4 = 11 denklemi ile 3x – 4 > 11 eşitsizliğinin çözüm kümelerini bulup, aralarındaki farklılığı sayı doğrusu üzerinde gösterelim:
3x – 4 = 11 denklemini çözelim:
3x – 4 + (+4) = 11 + (+4)
.3x = 15.
x = 5 ve Ç = {+5} olur.



Şimdi de 3x – 4 > 11 eşitsizliği çözelim:
3x – 4 > 11
3x – 4 + (+4) = 11 + (+4)
.3x = 15.
x > +5 ve Ç = {+5 ten büyük gerçek sayılar} dır.



Örnek
x Î R olmak üzere, x < +5, x > 2, x ³ -1, x < -4, x > -3, x £ +3 eşitsizliklerini doğru yapan değerleri sayı doğrusu üzerinde gösterelim ve çözüm kümelerini gerçek sayılarda sembol kullanarak yazalım:



x < +5 ve
Ç = {+5 ten küçük gerçek sayılar} dır.



x > 2 ve
Ç = {+2 ten büyük gerçek sayılar} dır.



x ³ -1 ve
Ç = {-1 ve -1 den büyük gerçek sayılar} dır.




x < -4 ve
Ç = {-4 ten küçük reel sayılar} dır.




x > -3 ve
Ç = {-3 ten büyük gerçek sayılar} dır.




x £ +3 ve
Ç = {+3 ve +3 ten küçük gerçek sayılar} dır.

Örnek
x Î R olmak üzere, x < -3, x > +3 eşitsizliklerinin çözüm kümesini aynı sayı doğrusu üzerinde gösterelim:



x < -3 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç= {-3 ten küçük gerçek sayılar}dır.
x < +3 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç= {+3 ten büyük gerçek sayılar}dır.

Örnek
x Î R olmak üzere, x £ -4, x ³ +4 eşitsizliklerinin çözüm kümesini aynı sayı doğrusu üzerinde gösterelim:



x £ -4 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç= {-4 ve -4’ten küçük gerçek sayılar}dır.
x ³ +4 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç= {+4 ve +4’ten büyük gerçek sayılar}dır.

Örnek
Aşağıdaki sayı doğrusunda çözüm kümesi gösterilen eşitsizliği sembol kullanarak yazalım:


Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
-5 < +4 eşitsizliğin her iki yanına, (+8) i ekleyelim.
-5 < +4
(-5) + (+8) < (+4) + (+8)
+3 < +12 dir.
+3 > -7 eşitsizliğinin her iki yanına, (-9) u ekleyelim:
+3 > -7
(+3) + (-9) > (-7) + (-9)
-6 > -16 dır.
+25 > -12 eşitsizliğinin her iki yanına, (+4) ü ekleyelim:
+25 > -12
(+25) + (+4) > (-12) + (+4)
+29 > -8 dir.
-6 < -2 eşitsizliğinin her iki yanına, (-5) i ekleyelim:
-6 < -2
(-6) + (-5) < (-2) + (-5)
-13 < -7 dir.








Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
-7 < -4 eşitsizliğin her iki yanını, (+5) ile çarpalım:
-7 < -4
(-7) x (+5) < (-4) x (+5)
-35 < -20 dir.
+6 > -5 eşitsizliğin her iki yanını, (+3) ile çarpalım:
+6 > -5
(+6) x (+3) > (-5) x (+3)
+18 > -15 dir.
(+7) < (+11) eşitsizliğin her iki yanını, (+8) ile çarpalım:
(+7) < (+11)
(+7) x (+8) < (+11) x (+8)
+56 < +88 dir.

Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
+15 > +12 eşitsizliğin her iki yanını, (-4) ile çarpalım:
+15 > +12
(+15) x (-4) < (+12) x (-4)
-60 < -48 dir.
-9 < -3 eşitsizliğin her iki yanını, (-5) ile çarpalım:
-9 < -3
(-9) x (-5) > (-3) x (-5)
+45 > +15 dir.

Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
+12 > +4 eşitsizliğin her iki yanını, (+4) ile bölelim:
+12 > +4
(+12) : (+4) > (+4) : (+4)
+3 > +1 dir.
-36 < -9 eşitsizliğin her iki yanını, (+9) ile bölelim:
-36 < -9
(-36) : (+9) < (-9) : (+9)
-4 < -1 dir.

Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
-24 < -6 eşitsizliğin her iki yanını, (-6) ile bölelim:
-24 < -6
(-24) : (-6) > (-6) : (-6)
+4 > +1 dir.
+48 > +16 eşitsizliğin her iki yanını, (-16) ile bölelim:
+48 > +16
(+48) : (-16) < (+16) : (-16)
-3 < -1 dir.
Örnek
x – 4 < 3 eşitsizliğinin kümesini bulalım ve sayı doğrusu üzerinde gösterelim:
x – 4 < 3
x – 4 + (+4) < 3 + (+4)
x < +7 ve Ç = {+7 den küçük gerçek sayılar} dır.



Örnek
4x – 16 < +40 eşitsizliğinin kümesini bulalım ve sayı doğrusu üzerinde gösterelim:
4x – 16 < +40
4x – 16 + (+16) < (+40) + (+16)
.4x < (+56).
x < +14 ve Ç = {+14 ten küçük gerçek sayılar} dır.


Örnek
3x – 4 > 11 eşitsizliğinin kümesini bulalım ve sayı doğrusu üzerinde gösterelim:
3x – 4 > 11
3x – 4 + (+4) > 11 + (+4)
.3x > (+15).
x > +5 ve Ç = {+5 ten büyük gerçek sayılar} dır
Sayfa başına dön Aşağa gitmek
Kullanıcı profilini gör http://xezal.forumakers.com
 
Bİrİncİ Dereceden Bİr Bİlİnmeyenlİ Denklemler
Önceki başlık Sonraki başlık Sayfa başına dön 
1 sayfadaki 1 sayfası

Bu forumun müsaadesi var:Bu forumdaki mesajlara cevap veremezsiniz
Paylaşımın tek adresi :: Eğitim :: Ödevler/Tezler/Projeler :: Matematik-
Buraya geçin: